Линейные и евклидовы пространства с примерами решения и образцами выполнения

Необычные свойства

Четырехугольник Ламберта в гиперболической геометрии

Четырехугольники Саккери в трех геометриях

Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизма. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией )

Однако исторически наибольшее внимание уделялось свойствам, которые отличают одну геометрию от других.

Помимо поведения линий относительно общего перпендикуляра, упомянутого во введении, мы также имеем следующее:

• Ламберт четырехугольник является четырехугольник с тремя прямыми углами. Четвертый угол четырехугольника Ламберта острый, если геометрия гиперболическая, прямой угол, если геометрия евклидова, или тупой, если геометрия эллиптическая. Следовательно, прямоугольники существуют (утверждение, эквивалентное постулату параллельности) только в евклидовой геометрии.
• Саккрайте четырехугольник является четырехугольник с двух сторон равной длиной, и перпендикулярно к стороне называется база . Два других угла четырехугольника Саккери называются верхними углами, и они имеют одинаковую меру. Вершины четырехугольника Саккери острые, если геометрия гиперболическая, прямые углы, если геометрия евклидова, и тупые углы, если геометрия эллиптическая.
• Сумма углов любого треугольника меньше 180 °, если геометрия гиперболическая, равна 180 °, если геометрия евклидова, и больше 180 °, если геометрия эллиптическая. Дефект треугольника это числовое значение (180 ° — сумма мер углов треугольника). Этот результат можно также сформулировать так: дефект треугольников в гиперболической геометрии положительный, дефект треугольников в евклидовой геометрии равен нулю, а дефект треугольников в эллиптической геометрии отрицателен.

«Начала» Евклида

Ватиканский манускрипт, т.1, 38v — 39r. Euclid I prop. 47 (теорема Пифагора)

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино.

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

Евклид открывает врата Сада Математики. Иллюстрация из трактата Никколо Тартальи «Новая наука»

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строятся чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским.

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

Начала предоставляют общую основу для последующих геометрических трактатов Архимеда, Аполлония и других античных авторов; доказанные в них предложения считаются общеизвестными. Комментарии к Началам в античности составляли Герон, Порфирий, Папп, Прокл, Симпликий. Сохранился комментарий Прокла к I книге, а также комментарий Паппа к X книге (в арабском переводе). От античных авторов комментаторская традиция переходит к арабам, а потом и в Средневековую Европу.

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Псевдо-Евклид

Евклиду приписываются два важных трактата об античной теории музыки: «Гармоническое введение» («Гармоника») и «Деление канона» (лат. Sectio canonis). Традиция приписывать «Деление канона» Евклиду идёт ещё от Порфирия. В старинных рукописях «Гармоники» авторство приписывается Евклиду, некоему Клеониду, а также александрийскому математику Паппу. Генрих Мейбомrude (1555—1625) снабдил «Гармоническое введение» обстоятельными примечаниями, и вместе с «Делением канона» приписал их к трудам Евклида.

При последующем подробном анализе этих трактатов было определено, что первый написан в аристоксеновской традиции (например, в нём все полутоны считаются равными), а второй по стилю — явно пифагорейский (например, отрицается возможность деления тона ровно пополам). Стиль изложения «Гармонического введения» отличается догматизмом и непрерывностью, стиль «Деления канона» несколько схож с «Началами» Евклида, поскольку содержит теоремы и доказательства.

После критической публикации «Гармоники» знаменитым немецким филологом Карлом Яном (1836—1899) этот трактат стали повсеместно приписывать Клеониду и датировать II в. н.э. В русском переводе (с комментариями) его впервые издал Г. А. Иванов (Москве, 1894). «Деление канона» ныне одна часть исследователей считает аутентичным сочинением Евклида, а другая — анонимным сочинением в традициях Евклида. Последние по времени русские переводы «Деления канона» опубликованы (в версии Порфирия) В.Г.Цыпиным и (в версии Боэция) С.Н.Лебедевым. Критическое издание оригинального текста «Деления канона» выполнил в 1991 г. А.Барбера.

• Назад

• Вперёд

Добавить комментарий

[править] Обозначения и терминология

Именование точек и фигур

Точки обычно называют заглавными буквами алфавита. Другие фигуры, такие как линии, треугольники или круги, именуются перечислением достаточного количества точек, чтобы однозначно выделить их из соответствующей фигуры, например, треугольник ABC обычно будет треугольником с вершинами в точках A, B и C.

Дополнительные углы

Углы, сумма которых составляет прямой угол, называются дополнительными. Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которое находится между двумя исходными лучами, которые образуют прямой угол. Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Аксиоматическая основа неевклидовой геометрии

Евклидова геометрия может быть описана аксиоматически несколькими способами. К сожалению, первоначальная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не входит в их число, так как его доказательства опирались на несколько неустановленных предположений, которые также следовало принять в качестве аксиом. Система Гильберта, состоящая из 20 аксиом, наиболее точно следует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие разные наборы неопределенных терминов, получают ту же геометрию разными путями. Однако все подходы имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида, постулату параллельности. Гильберт использует форму аксиомы Плейфэра, в то время как Биркгоф , например, использует аксиому, которая гласит: «Существует пара похожих, но не совпадающих треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату параллельности, в какой бы форме она ни принималась, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, дает абсолютную геометрию . Поскольку первые 28 утверждений Евклида (в «Элементах» ) не требуют использования постулата параллельности или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии.

Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) должен быть заменен его отрицанием . Отрицание формы аксиомы Playfair , поскольку это составное утверждение (… существует один и только один …), можно сделать двумя способами:

• Либо будет существовать более одной прямой, проходящей через точку, параллельную данной прямой, либо не будет никаких прямых, проходящих через точку, параллельную данной прямой. В первом случае, заменяя постулат параллельности (или его эквивалент) утверждением «В плоскости, для данной точки P и прямой l, не проходящей через P, существуют две прямые, проходящие через P, которые не пересекаются с l » и сохраняя все остальные аксиомы дают гиперболическую геометрию .
• Со вторым случаем справиться не так просто. Простая замена постулата параллельности утверждением: «В плоскости, если дана точка P и прямая l, не проходящая через P, все прямые, проходящие через P, пересекаются с l », не дает согласованного набора аксиом. Это следует из того, что параллельные прямые существуют в абсолютной геометрии, но это утверждение говорит об отсутствии параллельных прямых. Эта проблема была известна (в ином виде) Хайяму, Саккери и Ламберту и послужила основанием для их отказа от так называемого «случая тупого угла». Чтобы получить непротиворечивый набор аксиом, включающий эту аксиому об отсутствии параллельных прямых, необходимо изменить некоторые другие аксиомы. Эти корректировки зависят от используемой системы аксиом. Среди прочего, эти настройки имеют эффект модификации второго постулата Евклида от утверждения, что отрезки линии могут быть неограниченно продолжены, до утверждения, что линии не ограничены. Римана «с эллиптической геометрией возникает как наиболее естественной геометрии , удовлетворяющей эту аксиому.

«Начала» Евклида

Главный труд Евклида – «Начала» (или «Элементы», в оригинале «Стойхейа»). «Начала» Евклида состоят из 13 книг. Позднее к ним были прибавлены еще две книги.

Первые шесть книг «Начал» посвящены геометрии на плоскости – планиметрии. В философско-теоретическом отношении, в плане философии математики особенно интересна первая книга, которая начинается с определений, постулатов и аксиом, учение о которых было заложено Аристотелем.

Евклид определяет точку как то, что не имеет частей. Линия – длина без ширины. Концы линии – точки. Прямая линия равно расположена по отношению к точкам на ней. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину. Концы поверхности – линии. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней. И так далее. Таковы определения Евклида.

Статуя Евклида в музее Оксфордского университета

Далее следуют постулаты, т. е. то, что допускается. Допустим, что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию, что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой, что из любой точки, принятой за центр, можно всяким раствором циркуля описать круг, что все прямые углы равны между собой и что если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то, будучи продолженными, эти две прямые рано или поздно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Аксиомы Евклида говорят о том, что величины, равные третьей величине, равны между собой, что если к равным прибавить равные, то и целые будут равными, и т. д.

Далее, в первой же книге «Начал» Евклида, рассматриваются треугольники, параллельные линии, параллелограммы. Вторая книга «Начал» содержит геометрическую алгебру: числа и отношения чисел выражаются в пространственных величинах и в их пространственных же отношениях. Третья книга «Начал» исследует геометрию круга и окружности, четвертая – многоугольники. Пятая книга дает теорию пропорций как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. В книге VI Евклид прилагает эти теории к планиметрии. Книги VII – X содержат теорию чисел, причем X книга трактует иррациональные линии. XI, XII и XIII книги «Начал» посвящены стереометрии, при этом в XII книге применяется метод исчерпания.

В строгом смысле слова Евклида нельзя считать «отцом геометрии». Свои «Начала» были у Гиппократа Хиосского в V в. до н. э. В IV в. до н. э. «Начала» были у Леона, и у Феудия Магнесийского. Метод исчерпания применял Евдокс Книдский, возможный учитель Евклида по Академии. Проблемой иррациональности занимались пифагореец Гиппас Метапонтский, Феодор Киренский, Теэтет Афинский… Однако Евклид – не простой передатчик сделанного до него математиками. В «Началах» Евклида мы видим завершение математики как стройной науки, исходящей из определений, постулатов и аксиом и построенной дедуктивно. Математика Евклида – вершина древнегреческой дедуктивной науки. Она резко отличается от ближневосточной математики с ее практической приблизительной рецептурностью. Не случайно «Начала» Евклида по их логической стройности, ясности, изяществу и законченности сравнивают с .

Правда, существовала легенда, что сам Евклид – не единственный автор дошедших до нас «Начал», что он сам дал лишь догматическое изложение материала, без доказательств, что доказательства были добавлены вышеупомянутым Теоном Александрийским. Теон Александрийский действительно занимался проблематикой «Начал». Но не он один. Этим же занимались и Прокл, и Симплиций. «Начала» Евклида были частично переведены на латинский язык Цензорином и Боэцием. Но эти их переводы затерялись. На Западе вплоть до конца XII в. находились в обращении тезисы Евклида без доказательств.

Что касается Ближнего Востока, то там Евклид был известен в переводах с греческого на сирийский, а с сирийского – на арабский. Первым арабским философом, который заинтересовался Евклидом, был, по-видимому, аль-Кинди (IX в.). Его интерес ограничивался евклидовой «Оптикой». Однако затем последовала масса переводов и комментариев на «Начала». Эти арабские тексты были переведены в XIII в. на латинский язык. Первый латинский перевод с греческого оригинала был делан в Европе в 1493 г. и отпечатан в 1505 г. в Венеции. Но до 1572 г., когда Федерико Коммандино в своем латинском переводе исправил эту ошибку, Евклида-математика путали с Евклидом Мегариком.

Аксиоматизация[править | править код]

Проблема полной аксиоматизации элементарной геометрии — одна из проблем геометрии, возникшая в Древней Греции в связи с критикой этой первой попытки построить полную систему аксиом так, чтобы все утверждения евклидовой геометрии следовали из этих аксиом чисто логическим выводом без наглядности чертежей. В «Началах» Евклида утверждения, принимаемые без доказательства, назывались постулатами и аксиомами. В чём заключался принцип разделения основных положений на два списка, то это осталось невыясненным.Постулаты:

1. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
2. И чтобы каждую прямую можно было неопределённо продолжить.
3. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
4. И чтобы все прямые углы были равны между собой.
5. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы:

1. Равные порознь третьему равны между собой.
2. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
3. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
4. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
5. И если удвоим равные, то получим равные.
6. И половины равных равны между собой.
7. И совмещающие равны.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не могут заключить пространства.

Примечание: Принадлежность некоторых из аксиом именно Евклиду (4-я, 5-я, 6-я и 9-я) берётся под сомнение, возможно переписчики добавили их позже. В некоторых списках «Начал» четвёртый и пятый постулат относили к числу аксиом, потому пятый постулат иногда называют одиннадцатой аксиомой.

В 1899 году Д. Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии.
Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным. Кроме Гильбертовой, существуют и другие системы аксиом евклидовой геометрии (А. В.Погорелова, А. Д. Александрова, А. Н. Колмогорова и др.). Особо здесь можно отметить систему аксиом Вейля, основанную на понятии вектора

Планарные алгебры

В аналитической геометрии плоскость описывается декартовыми координатами  : С = {( х, у ): х , у ∈ ℝ}. Эти точки иногда идентифицированы с комплексными числами г = х + у е , где ε 2 ∈ {-1, 0, 1}.

Евклидова плоскость соответствует случаю ε 2 = −1, поскольку модуль z определяется выражением

zz*знак равно(Икс+уϵ)(Икс-уϵ)знак равноИкс2+у2{\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ epsilon) (xy \ epsilon) = x ^ {2} + y ^ {2}}

и эта величина является квадратом евклидова расстояния между z и началом координат. Например, { z | zz * = 1} — единичный круг .

Для плоской алгебры неевклидова геометрия возникает в других случаях. Когда ε 2 = +1 , тогда z является комплексным числом с разбиением и обычно j заменяет эпсилон. потом

zz*знак равно(Икс+уj)(Икс-уj)знак равноИкс2-у2{\ displaystyle zz ^ {\ ast} = (x + y \ mathbf {j}) (xy \ mathbf {j}) = x ^ {2} -y ^ {2} \!}

и { z | zz * = 1} — единичная гипербола .

Когда ε 2 = 0 , то z — двойственное число .

Такой подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклона в плоскости двойных чисел и гиперболический угол в плоскости расщепленного комплекса соответствуют углу в евклидовой геометрии. В самом деле, каждое из них возникает в комплексного числа z .

Математика

В свободное время Евклид любил читать книги в знаменитой Александрийской библиотеке. Он глубоко изучал математику, а также исследовал геометрические принципы и теории иррациональных чисел.

В скором времени Евклид опубликует собственные наблюдения и открытия в своем главном труде «Начала». Данная книга внесла большой вклад в развитие математики.

Она состояла из 15 томов, в каждом из которых уделялось внимание той или иной области науки

Автор рассуждал о свойствах параллелограммов и треугольников, рассматривал геометрию окружностей и общую теорию пропорций.

Также в «Началах» уделялось внимание теории чисел. Он доказал бесконечность множества простых чисел, исследовал четные совершенные числа и вывел такое понятие, как НОД – наибольший общий делитель

Сегодня нахождение данного делителя называется алгоритмом Евклида.

Помимо этого, в книге автор изложил основы стереометрии, представил теоремы об объемах конусов и пирамид, не забыв упомянуть об отношениях площадей кругов.

Данный труд вмещает в себе настолько много фундаментальных знаний, доказательств и открытий, что многие биографы Евклида склоняются к тому, что «Начала» были написаны группой лиц.

Специалисты не исключают того, что над книгой работали такие ученые, как Архит Тарентский, Евдокс Книдский, Теэтет Афинский, Гипсикл, Исидор Милетский и другие.

На протяжении последующих 2000 лет «Начала» выступали в качестве основного учебника по геометрии.

Следует отметить тот факт, что большая часть материалов, содержащихся в книге – не собственные открытия, а известные ранее теории. По сути, Евклид просто мастерски структурировал знания, которые были известны на то время.

Помимо «Начал», Эвклид опубликовал и ряд других работ, касающихся оптики, траектории движения тел и законов механики. Он является автором знаменитых вычислений, которые практикуются в геометрии – так называемых «евклидовых построений».

Ученый также сконструировал прибор для определения высоты тона струны и изучал интервальные соотношения, что привело к созданию клавишных музыкальных инструментов.

Эпонимы

Следующие математические структуры названы в честь Евклида:

• Евклидово расстояние , длина прямой связи между двумя точками на плоскости или в пространстве.
• Евклидов алгоритм , метод вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел
• Евклидова геометрия , начертательная геометрия плоскости или пространства
• Евклидово твердое тело , упорядоченное твердое тело, в котором каждый неотрицательный элемент имеет квадратный корень
• Евклидова норма , длина вектора на плоскости или в пространстве
• Евклидово пространство , пространство интуиции, реальное аффинное пространство со стандартным скалярным произведением
• Евклидово отношение , отношение, к которому применимо следующее: если два элемента связаны каждый с третьим, то они также связаны друг с другом.
• Евклидово кольцо , кольцо, в котором возможно деление на остаток
• Евклидовы инструменты , допустимые действия при построении с циркулем и линейкой

Кроме того, в честь Евклида названы следующие математические теоремы и доказательства:

• Евклидово доказательство иррациональности корня из 2 , первое доказательство противоречия в истории математики
• Теорема Евклида о высоте : в прямоугольном треугольнике квадрат над высотой равен по площади прямоугольнику из сечений гипотенузы.
• Теорема Евклида о катетерах : в прямоугольном треугольнике квадраты катета равны произведению гипотенузы и соответствующего сечения гипотенузы.
• Лемма Евклида : если простое число делит произведение двух чисел, то также хотя бы один из двух множителей
• Теорема Евклида : простых чисел бесконечно много

Также назван в честь Евклида:

• Евклид (лунный кратер) , кратер на передней части Луны
• (4354) Евклид , астероид главного пояса

Основные сведения

Элементарная геометрия — геометрия, определяемая в основном группой перемещений (изометрий) и группой подобия. Однако содержание элементарной геометрии не исчерпывается указанными преобразованиями. К элементарной геометрии также относят преобразование инверсии, вопросы сферической геометрии, элементы геометрических построений, теорию измерения геометрических величин и другие вопросы.

Элементарную геометрию часто называют евклидовой геометрией, так как первоначальное и систематическое её изложение, хотя и недостаточно строгое, было в «Началах» Евклида. Первая строгая аксиоматика элементарной геометрии была дана Гильбертом. Элементарная геометрия изучается в средней общеобразовательной школе.

Связанные определения

Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вымысел

Неевклидова геометрия часто появляется в произведениях научной фантастики и фэнтези .

• В 1895 году Герберт Уэллс опубликовал рассказ «Замечательная история глаз Дэвидсона» . Чтобы оценить эту историю, нужно знать, как идентифицируются противоположные точки на сфере в модели эллиптической плоскости. По сюжету посреди грозы Сидни Дэвидсон видит «Волны и удивительно аккуратную шхуну», работая в электротехнической лаборатории в Техническом колледже Харлоу. В конце истории Дэвидсон оказывается свидетелем HMS Fulmar у острова Антиподы .
• Неевклидова геометрия иногда связана с влиянием писателя ужасов ХХ века Л. П. Лавкрафта . В его работах многие неестественные вещи следуют своим собственным уникальным законам геометрии: в « Мифах о Ктулху» Лавкрафта затонувший город Р’льех характеризуется неевклидовой геометрией. В значительной степени подразумевается, что это достигается как побочный эффект несоблюдения естественных законов этой вселенной, а не просто использования альтернативной геометрической модели, поскольку ее явная врожденная неправильность, как говорят, способна свести с ума тех, кто смотрит на нее.
• Главный герой романа Роберта Пирсига « Дзен и искусство ухода за мотоциклами» неоднократно упоминал риманову геометрию.
• В «Братьях Карамазовых» Достоевский обсуждает неевклидову геометрию через своего персонажа Ивана.
• Роман Кристофера Приста « Перевернутый мир» описывает борьбу жизни на планете с формой вращающейся псевдосферы .
• Роберт Хайнлайн в своей книге « Число зверя» использует неевклидову геометрию для объяснения мгновенного переноса в пространстве и времени, а также между параллельными и вымышленными вселенными.
• HyperRogue от Zeno Rogue — это игра в жанре roguelike, действие которой разворачивается на гиперболической плоскости , позволяя игроку испытать многие свойства этой геометрии. Многие механики, квесты и локации сильно зависят от особенностей гиперболической геометрии.
• В Renegade Legion научной фантастики настройки для ФАЗА «s Wargame , ролевые игры-игры и вымысла, быстрее чем свет путешествия и связи возможно за счет использования Се Хо Polydimensional неевклидовой геометрии, опубликованной когда — то в середине 22 век.
• В Флаттерленде» Яна Стюарта главный герой Виктория Лайн посещает самые разные неевклидовы миры.

Обобщения

Если вы рассматриваете матрицу с действительными или комплексными элементами как соответственно длинный вектор, евклидова норма также может быть определена для матриц и тогда называется нормой Фробениуса . Евклидова норма также может быть обобщена на бесконечномерные векторные пространства над действительными или комплексными числами, а затем частично имеет свои собственные имена. Наиболее важные обобщения заключаются в следующем.

ℓ 2 стандартных

является обобщением евклидовой нормы в пространстве последовательностей квадратично суммируемых последовательностей . Вот только конечная сумма заменяется на Бесконечного и ℓ 2 норма затем дается как
ℓ2{\ displaystyle \ ell ^ {2}} (ап)п∈KN{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n} \ in {\ mathbb {K}} ^ {\ mathbb {N}}}

‖(ап)‖ℓ2знак равно(∑пзнак равно1∞|ап|2)12{\ displaystyle \ | (a_ {n}) \ | _ {\ ell ^ {2}} = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} \ справа) ^ {1/2}}.

Пространство является гильбертово пространство со скалярным произведением двух последовательностей
ℓ2{\ displaystyle \ ell ^ {2}}

⟨(ап),(бп)⟩ℓ2знак равно∑пзнак равно1∞ап¯⋅бп{\ displaystyle \ left \ langle \, (a_ {n}), (b_ {n}) \, \ right \ rangle _ {\ ell ^ {2}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } {\ overline {a_ {n}}} \ cdot b_ {n}}.

L 2 стандарт

Кроме того, евклидова норма может быть обобщена на функциональное пространство функций, интегрируемых на множестве квадратично , что происходит в два этапа. Во-первых, -норма является квадратичной интегрируемой по Лебегу функцией при
Л.2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)} Ω{\ displaystyle \ Omega}Л.2{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2}}жΩ→K{\ Displaystyle f \ двоеточие \ Omega \ rightarrow {\ mathbb {K}}}

‖ж‖Л.2(Ω)знак равно(∫Ω|ж(Икс)|2dИкс)12{\ Displaystyle \ | е \ | _ {{\ mathcal {L}} ^ {2} (\ Omega)} = \ left (\ int _ {\ Omega} | е (х) | ^ {2} \, dx \ right) ^ {1/2}},

определяется, в результате чего по сравнению с ℓ 2 нормы только сумма была заменена интегралом. Изначально это только полунорма , поскольку не только нулевая функция, но и все функции, которые отличаются от нулевой функции только в терминах набора с нулевой мерой Лебега, интегрируются в ноль

Поэтому, принимая во внимание количество классов эквивалентности функций , которые почти везде одинаковы, и получает на этом L -пространстве L нормы по
ж∈Л.2(Ω){\ Displaystyle \ в L ^ {2} (\ Omega)}

‖ж‖Л.2(Ω)знак равно‖ж‖Л.2(Ω){\ Displaystyle \ | \, \, \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} = \ | е \ | _ {{\ mathcal {L}} ^ {2} (\ Omega)} }.

Пространство представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением двух функций
Л.2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}

⟨ж,г⟩Л.2(Ω)знак равно∫Ωж(Икс)¯⋅г(Икс)dИкс{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {L_ {2} (\ Omega)} = \ int _ {\ Omega} {\ overline {f (x)}} \ cdot g (x) \, dx}.

Его также можно обобщить с меры Лебега на общие меры .

Общие векторные пространства

В более общем смысле евклидова норма может быть определена в любых бесконечномерных векторных пространствах через связанный базис Гамеля . Если такая Хамель основа имеет , где множество индексов , то каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации с коэффициентами (здесь лишь конечное число коэффициентов могут отличаться от 0). Евклидова норма вектора тогда определяется какV{\ displaystyle V}{Икся}я∈Я.{\ displaystyle \ {x_ {i} \} _ {я \ in I}}V{\ displaystyle V}Я.{\ displaystyle I}v∈V{\ displaystyle v \ in V} vзнак равно∑я∈Я.аяИкся{\ displaystyle \ textstyle v = \ sum _ {я \ in I} a_ {i} x_ {i}}ая∈K{\ displaystyle a_ {i} \ in {\ mathbb {K}}}ая{\ displaystyle a_ {i}}

‖v‖2знак равно(∑я∈Я.|ая|2)12{\ displaystyle \ | v \ | _ {2} = \ left (\ sum _ {i \ in I} | a_ {i} | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

и тем самым из скалярного произведения

⟨v,ш⟩знак равно⟨∑я∈Я.аяИкся,∑я∈Я.бяИкся⟩знак равно∑я∈Я.а¯ябя{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} x_ {i}, \ sum _ {i \ in I} b_ {i} x_ {i} \ right \ rangle: = \ sum _ {i \ in I} {\ bar {a}} _ {i} b_ {i}}

индуцированный для векторов .
v,ш∈V{\ displaystyle v, w \ in V}

Иногда норма, индуцированная произвольным скалярным произведением на вещественном пространстве скалярных произведений, также называется евклидовой нормой.

Вариации и обобщения

Если в качестве основного поля использовать не поле вещественных чисел, а поле комплексных, то это даст определение унитарного (или эрмитова) пространства.

Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства. Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства. Требование того, чтобы предгильбертово пространство было полным по метрике, ведёт к определению гильбертова пространства; пространство квадратично-суммируемых последовательностей — гильбертово пространство, которое может рассматриваться как пространство векторов с бесконечным числом координат.

Движения евклидова пространства

Движения евклидова пространства — это преобразования пространства на само себя, сохраняющие метрику (также называются изометриями пространства на само себя). Пример движения — параллельный перенос на вектор v{\displaystyle \mathbf {v} }, переводящий точку p{\displaystyle \mathbf {p} } в точку p+v{\displaystyle \mathbf {p+v} }. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию QTQ=E{\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q=E}, где QT{\displaystyle Q^{\mathsf {T}}} — транспонированная матрица, а E{\displaystyle E} — единичная матрица.